高中数学必修四知识点总结
高中同学们学习任务日益繁重，自然不能平均分配学习任务。以下是由我为大家整理的“高中数学必修四知识点总结”，仅供参考，欢迎大家阅读。 高中数学必修四知识点总结 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数(指、对、幂函数) 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数(三角函数)、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 2.重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数。 难点：函数、圆锥曲线。 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件。 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用。 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用。 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用。 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用。 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用。 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系。 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用。 ⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量。 ⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用。 ⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布。 ⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用。 ⒀复数：复数的概念与运算。 拓展阅读：如何学好数学 一、要有良好的学习习惯 好习惯是取得优秀成绩的必要条件，可以事半功倍。什么是好习惯呢? 1.勤奋 手勤：多记(课堂笔记、好题、好解法、错题本)、多做(练习)、多总结(知识总结、方法总结)。 眼勤：多看课本、课外书、笔记、错题本。 耳勤：听讲仔细。 嘴勤：多问，有问题及时解决，不留后患。 脑勤：多想，对知识、题目等不但要弄清楚是什么、怎样做，还要多想几个为什么? 其中最重要的是动手和动脑。 2.深入 对所学的知识不但要记住，而且最好弄清楚是怎么来的?解题中怎么使用?对一些好的题目不要满足于会做，还要考虑解法是怎么想出来的?哪种方法更好? “会”有不同的层次： 知识：知道→理解→记住→会用→推广 解题：会做一道题→会做一类题→灵活运用和创新 3.严谨 数学是最严谨的学科。知识要严谨，解题要严谨。不严谨，遇到题目不是不会做，就是解不完整，得分就不全。 4.其他 (1)戒掉恶习：网络、电视、手机等，要把它们变成学习工具。 (2)不找借口：成绩不好时，要多找自身原因，不要怨天尤人。一样的老师、一样的同学、一样的课本和参考书、一样的试卷，成绩却差别很大，因此主要原因在个人。用借口掩盖真实原因，不利于解决实际问题。 忠告：学习是自己的事情，任何人都不能包办代替!家长、老师是厨师，只能把饭菜做得更好吃，更有营养，更好消化，但只有你爱吃才会有效果。 所以，作为学生，要认识到自己在学习中的地位;作为家长，要注意你主要应该做的是调动孩子的积极性，孩子自己动起来了，才会有好的成绩。 二、好基础 1.基础知识要扎实，想提分必须有本钱举个不太恰当的例子，这就象经商，你投资1元钱，即使盈利100%，也就是1元的利润，但若投资1万元，哪怕只盈利10%，利润也有1000元。所以，要想学习成绩有大的提高，必须要有扎实的知识储备。所以，你若有20分的基础，提高100%，才到40分。 提几点建议： (1)自我弥补：小学或初中的，可以自补，年龄增长了，智力提高了，过去学起来非常困难的现在可能一看就明白。 (2)个别指导：对于高中的知识，可以找老师有针对性的进行指导。但应明白，个别指导只是应急措施，不能有依赖性。 (3)资料：借助某些资料，可以快速补充基础知识。 老师经常告诉学生，基础知识不是万能的，没有基础知识是万万不能的。这是讲知识与解题的关系，知识点懂了，不一定会解题，但用到的知识点没掌握，则100%不会解题。 2.下苦功走出恶性循环 良性循环：做题快→用时少→解题更多→能力更强→做题更快 恶性循环：做题慢→用时多→解题更少→能力更差→做题更慢 一旦进入恶性循环，学生是很苦恼的。一般解决恶性循环的办法就是“恶补”，就是人家休息你不休，人家玩你少玩或不玩。通过一段时间的努力，逐渐形成良性循环，以后问题变会变得很容易。特别是过去好，忽然变差的那种，这样很管用的。 三、好方法 1.预习很重要：往往被忽略，理由：没时间，看不懂，不必要等。预习是学习的必要过程，还是提高自学能力的好方法。 2.听讲有学问：听分析、听思路、听应用，关键内容一字不漏，注意记录。 3.做好错题本：每个会学习的学生都会有。最好再加个“好题本”。发现许多同学没有错题本，或者是只做不用。这样学习效果都不好。 4.用好课外书：正确认识网络课程和课外书籍，是副食，是帮助吸收的良药，绝对不是课堂学习的替代品。 5.注意总结和反思：知识点、解题方法和技巧、经验和教训 6.接受数学思想方法的指导：要注意数学思想和方法的指导，站得高，才能看得远。
高一数学必修4知识点总结
高一数学必修4知识点总结 1 第一章 三角函数 正角:按逆时针方向旋转形成的角 1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角 零角:不作任何旋转形成的角 2、角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角． 第二象限角的集合为k36090k360180,k 第三象限角的集合为k360180k360270,k第四象限角的集合为k360270k360360,k终边在x轴上的角的集合为k180,k 终边在y轴上的角的集合为k18090,k终边在坐标轴上的角的集合为k90,k 第一象限角的集合为k360k36090,k 3、与角终边相同的角的集合为k360,k 4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度． 5、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝对值是 l． r 180 6、弧度制与角度制的换算公式：2360，1，157.3． 180 7、若扇形的圆心角为 为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则lr，C2rl， 1 11 Slrr2． 22 8 、设是一个任意大小的角，它与原点的距离是rr的终边上任意一点的坐标是x,y，则sin 0， yxy ，cos，tanx0． rrx 9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正， 第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 10、三角函数线：sin，cos，tan． 2222 11、角三角函数的基本关系：1sin2cos21sin1cos,cos1sin ； 2 sin tancos sin sintancos,cos． tan 12、函数的诱导公式： 1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank． 2sinsin，coscos，tantan． 3sinsin，coscos，tantan． 4sinsin，coscos，tantan． 口诀：函数名称不变，符号看象限． 5sin cos，cossin．6sincos，cossin． 2222 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 13、①的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 1 倍（纵坐标不变），得到函数ysinx的图象；再将 函数ysinx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数 ysinx的图象． ②数ysinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 1 倍（纵坐标不变），得到函数 ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上所有点向左（右）平移 个单位长度，得到函数 ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横 2 坐标不变），得到函数ysinx的图象． 14、函数ysinx0,0的性质： ①振幅：；②周期： 2 ；③频率：f 1 ；④相位：x；⑤初相：． 2 函数ysinx，当xx1时，取得最小值为ymin ；当xx2时，取得最大值为ymax，则 11 x2x1x1x2ymaxyminymaxymin 22，，2． yASinx , A0 , 0 , T 2 15 周期问题 2 yACosx , A0 , 0 , T yASinx, A0 , 0 , T yACosx, A0 , 0 , T yASinxb , A0 , 0 , b 0, T 2 2 yACosxb , A0 , 0 , b0 ,T TyAcotx , A0 , 0 , yAtanx , A0 , 0 , T yAcotx, A0 , 0 , T yAtanx , A0 , 0 , T 3 第二章 平面向量 16、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． C ⑶三角形不等式：ababab． ⑷运算性质：①交换律：abba； abcabc②结合律：；③a00aa． a b abCC 4 ⑸坐标运算：设ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2,y1y2． 18、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2,y1y2． 设、两点的坐标分别为x1,y1，x2,y2，则x1x2,y1y2． 19、向量数乘运算： ⑴实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a． ① aa； ②当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0． ⑵运算律：①aa；②aaa；③abab． ⑶坐标运算：设ax,y，则ax,yx,y． 20、向量共线定理：向量aa0与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba． 设ax1,y1，bx2,y2，其中b0，则当且仅当x1y2x2y10时，向量a、bb0共线． 21、平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有 且只有一对实数1、2，使a1e12e2．（不共线的向量e1、e2作为这一平面内所有向量的一组基底） 22、分点坐标公式：设点是线段12上的一点，1、2的坐标分别是x1,y1，x2,y2，当12时， 点的坐标是 x1x2y1y2 时，就为中点公式。）（当1 ,． 11 23、平面向量的数量积： ⑴ababcosa0,b0,0180．零向量与任一向量的数量积为0． ⑵性质：设a和b都是非零向量，则①abab0．②当a与b同向时，abab；当a与b反向 2 时，abab；aaaa或a．③abab． 2 ⑶运算律：①abba；②ababab；③abcacbc． ⑷坐标运算：设两个非零向量ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2y1y2． 222 若ax,y，则axy， 或a设ax1,y1，则abxx12yy12bx2,y2， 0． 5 高一数学必修4知识点总结 2 第一章 三角函数 1. 正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角。 按边旋转的方向分 零角：如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。 角负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角。 的 第一象限角{α|k2360°＜α＜90°+k2360°,k∈Z} 分 第二象限角{α|90°+k2360°＜α＜180°+k2360°,k∈Z} 类 第三象限角{α|180°+k2360°＜α＜270°+k2360°,k∈Z} 第四象限角{α|270°+k2360°＜α＜360°+k2360°,k∈Z} 或{α|-90°+k2360°＜α＜k2360°,k∈Z} (象间角):当角的终边与坐标轴重合时叫轴上角，它不属于任何一个象限． 2.终边相同角的表示：所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+ k2360°,k∈Z}即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整个周角的和。 3.几种特殊位置的角： ⑴终边在x轴上的非负半轴上的角：α= k2360°,k∈Z ⑵终边在x轴上的非正半轴上的角：α=180°+ k2360°,k∈Z ⑶终边在x轴上的角：α= k2180°,k∈Z ⑷终边在y轴上的角：α=90°+ k2180°,k∈Z ⑸终边在坐标轴上的角：α= k290°,k∈Z ⑹终边在y=x上的角：α=45°+ k2180°,k∈Z ⑺终边在y=-x上的角：α= -45°+ k2180°,k∈Z 或α=135°+ k2180°,k∈Z ⑻终边在坐标轴或四象限角平分线上的角：α= k245°,k∈Z 4.弧度：在圆中，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示。 5.6.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α 相关公式7.角度制与弧度制的换算 8.单位圆：在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆。 9.利用单位圆定义任意角的三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y）那么： ⑴y叫做α的正弦，记作sinα即⑵x叫做α的余弦，记作cosα⑶ y叫做α的正切，记作tanαx22 10.sincos1 sin；cos 同角三角函数的基本关系 α≠kπ+ 11.三角函数的诱导公式： πnis（k∈Z）】：ant2cos 公sink2sin式cosk2cos一tank2tan【注】其中kZ 公sinsin公sinsin式cos cos 式coscos 公sinsin式coscos四tantan 公sincos 2 公sinsco 2 式cossin式cosn si 22 五tancot 2 六tantco 2 注意：ysinx周期为2π；y|sinx|周期为π；y|sinxk|周期为2π；ysin|x|不是周期函数。 13.得到函数yAsin(x)图像的方法: y=sin(x+)ysin(x)y①y=sinx 周期变换 向左或向右平移||个单位 平移变换周期变换振幅变换 Asin(x) ②y=sinxysinxysin(x)yAsin(x) 14.简谐运动 ①解析式：yAsin(x),x[0,+) ②振幅：A就是这个简谐运动的振幅。 ③周期：T④频率：f= 振幅变换 2π 1 T2π ⑤相位和初相：x称为相位，x=0时的`相位称为初相。 第二章 平面向量 1.向量：数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量。数量：我们把只有大小没有方向的量称为数量。 2.有向线段：带有方向的线段叫做有向线段。有向线段三要素：起点、方向、长度。 3.向量的长度（模）：向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记作|AB|。 4.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0，零向量的方向是任意的。 单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量。 5.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。若向量a、b是两个平行向量，那么通常记作a∥b。 平行向量也叫做共线向量。我们规定：零向量与任一向量平行，即对于任一向量a，都有0∥a。 6.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。若向量a、b是两个相等向量，那么通常记作a=b。 BC=b，b，7.如图，已知非零向量a、在平面内任取一点A，作AB=a，则向量AC叫做a与b的和，记作ab， 即abABBCAC。 向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。这种求向量的方法称为向量加法的三角形法则。 8.对于零向量与任一向量a，我们规定：a+0=0+a=a 9.公式及运算定律：①A1A2+A2A3+...+AnA1=0②|a+b|≤|a|+|b| （a+b）+ca（b+c）③a+bba ④ 10.相反向量：①我们规定，与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作-a。a和-a互为相反向 量。 ②我们规定，零向量的相反向量仍是零向量。 ③任一向量与其相反向量的和是零向量，即a+（-a）（=-a）+a=0。 ④如果a、b是互为相反的向量，那么a= -b，b= -a，ab=0。 ⑤我们定义a-b=a+，即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。 （-b） 11.向量的数乘：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘。记作a，它的 长度与方向规定如下：①|a||||a| ②当λ＞0时，a的方向与a的方向相同；当λ＜0时，的方向与a的 方向相反；λ=0时，a=0 （a）（）a 12.运算定律：① ②（）aaa ③（ab）=ab （）a（a）（a）（ab）=ab ④⑤ 13.定理：对于向量a（a≠0）、b，如果有一个实数λ，使b=a，那么a与b共线。相反，已知向量a与b 共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即|b|=μ|a|，那么当a与b同方向时，有b=a；当a 与b反方向时，有b= a。则得如下定理：向量向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b=a。 14.平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且 只有一对实数1、2，使a1e12e2。我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基 底。 15.向量a与b的夹角：已知两个非零向量a和b。作OAa，OBb，则AOB（0°≤θ≤180°）叫 做向量a与b的夹角。当θ=0°时，a与b同向；当θ=180°时，a与b反向。如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作ab。 16.补充结论：已知向量a、b是两个不共线的两个向量，且m、n∈R，若manb0，则m=n=0。 17.正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。 18.两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）。即若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则 ab(x1x2,y1y2)，ab(x1x2,y1y2) 19.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。即若a(x1,y1)，则a(x1,y1) 20.当且仅当x1y2-x2y1=0时，向量a、b（b≠0）共线 x1x2y1y2 21.定比分点坐标公式：当P1PPP2时，P点坐标为(,) 11 ①当点P在线段P1P2上时，点P叫线段P1P2的内分点，λ＞0 ②当点P在线段P1P2的延长线上时，P叫线段P1P2的外分点，λ＜-1； 当点P在线段P1P2的反向延长线上时，P叫线段P1P2的外分点，-1＜λ＜0. 22. 从一点引出三个向量，且三个向量的终点共线， B 则OCOAOB，其中λ+μ=1 23.数量积（内积）：已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos叫做a与b 的数量积（或内积），记作a2b即a2b=|a||b|cos。其中θ是a与b的夹角， |a|cos（|b|cos）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。我们规定，零向量与任一向量的数量 积为0。 24. a2b的几何意义：数量积a2b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积。 25.数量积的运算定律：①a2b=b2a ②（λa）2b=λ（a2b）=a2（λb） ③（a+b）2c=a2c+b2c 22222222④(ab)a2abb ⑤(ab)a2abb ⑥(ab)(ab)ab 26.两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即abx1x2y1y2。则： 22 2 ①若a(x,y)，则|a|xy，或|a|。如果表示向量a的有向线段的起点和中点的坐标分别为（x2x1，y2y1） （x1，y1）（x2，y2）、，那么a，|a| （x1，y1）（x2，y2）②设a，b，则abx1x2y1y20ab0 （x1，y1）（x2，y2）27.设a、b都是非零向量，a，b，θ是a与b的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表 ab 示可得：cos |a||b| 第三章 三角恒等变换 cs1.两角和的余弦公式【简记C(α+β)】：oos2.两角差的余弦公式【简记C(α-β)】：c csocsnisniso coscosnisnis 3.两角和（差）余弦公式的公式特征：①左加号，右减号。②同名函数之积的和与差。③α、β叫单角，α±β 叫复角，通过单角的正、余弦求和（差）的余弦值。④“正用”、“逆用”、“变用” is4.两角和的正弦公式【简记S(α+β)】：nis5.两角差的正弦公式【简记S(α-β)】：n isoscosnisnc nisoscosnisc 6.两角和（差）正弦公式的公式特征及用途：①左右运算符号相同。②右方是异名函数之积的和与差，且正弦值 篇三：高中数学人教版必修四常见公式及知识点系统总结(全) 必修四常考公式及高频考点 第一部分 三角函数与三角恒等变换 考点一 角的表示方法 1.终边相同角的表示方法： 所有与角终边相同的角，连同角在内可以构成一个集合：{β|β= k2360 °+α,k∈Z } 2.象限角的表示方法： 第一象限角的集合为{α第二象限角的集合为{α第三象限角的集合为{α第四象限角的集合为{α | k2360 °<α<k2360 °+90 °,k∈Z } | k2360 °+90 °<α<k2360 °+180 °,k∈Z } | k2360 °+180 °<α<k2360 °+270 °,k∈Z } | k2360 °+270 °<α<k2360 °+360 °,k∈Z } 3.终边在某条射线、某条直线或两条垂直的直线上(如轴线角)的表示方法： （1）若所求角β的终边在某条射线上，其集合表示形式为{β|β= k2360 °+α,k∈Z },其中α为射线与x轴非负半轴形成的夹角 （2）若所求角β的终边在某条直线上，其集合表示形式为{β|β= k2180 °+α,k∈Z },其中α为直线与x轴非负半轴形成的任一夹角 （3）若所求角β的终边在两条垂直的直线上，其集合表示形式为{β|β= k290 °+α,k∈Z },其中α为直线与x轴非负半轴形成的任一夹角 例： 终边在y轴非正半轴上的角的集合为{α|α= k2360 °+270 °,k∈Z } 终边在第二、第四象限角平分线上的集合为{α|α= k2180 °+135 °,k∈Z } 终边在四个象限角平分线上的角的集合为{α|α= k290 °+45 °,k∈Z } 易错提醒： 区别锐角、小于90度的角、第一象限角、0～90、小于180度的角 考点二 弧度制有关概念与公式 1.弧度制与角度制互化 180，1 180 57.3，1弧度 180 2.扇形的弧长和面积公式（分别用角度制、弧度制表示方法） nR R, 其中为弧所对圆心角的弧度数 180 1nR21 lR2||, 其中为弧所对圆心角的弧度数 扇形面积公式：S 23602 弧长公式：l 12 易错提醒：利用S= R||求解扇形面积公式时，为弧所对圆心角的弧度数，不可用角度数 2 规律总结：“扇形周长、面积、半径、圆心角”4个量，“知二求二”，注意公式选取技巧 考点三 任意角的三角函数 1.任意角的三角函数定义 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点Px,y，那么siny，cosx，tan y（r|OP| rrx化简为siny,cosx,tan2.三角函数值符号 ； y . x 规律总结：利用三角函数定义或“一全正、二正弦、三正切、四余弦”口诀记忆象限角或轴线角的三角函数值符号. 3.特殊角三角函数值 除此之外，还需记住150、750的正弦、余弦、正切值 4.三角函数线 经典结论： (1)若x(0,(2)若x (0, 2 )，则sinxxtanx )，则1sinxcosx2 (3)|sinx||cosx|1 例： 11 在单位圆中分别画出满足sinα＝cosα＝、tanα＝－1的角α的终边，并求角α的取值集合 22考点四 三角函数图像与性质 考点五 正弦型（y=Asin(ωx＋φ)）、余弦型函数（y=Acos(ωx＋φ)）、正切性函数（y=Atan(ωx＋φ)）图像与性质 1.解析式求法 （1）y＝Asin(ωx＋φ)＋B 或y=Acos(ωx＋φ)＋B解析式确定方法 A、B通过图像易求，重点讲解φ、ω求解思路： ①φ求解思路： 代入图像的确定点的坐标.如带入最高点(x1,y1)或最低点坐标(x 2,y2)，则x1 2 2k(kZ)或 x2 3 2k(kZ)，求值． 2 易错提醒：y=Asin(ωx＋φ)，当ω>0，且x=0时的相位（ωx+φ=φ）称为初相.如果不满足ω>0，先利用诱导公式进行变形，使之满足上述条件，再进行计算.如y=-3sin(-2x+60)的初相是-60 ②ω求解思路： 利用三角函数对称性与周期性的关系，解ω.相邻的对称中心之间的距离是周期的一半；相邻的对称轴之间的距离是周期的一半；相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期的四分之一. 2.“一图、两域、四性” “一图”：学好三角函数，图像是关键。 易错提醒：“左加右减、上加下减”中“左加右减”仅仅针对自变量x，不可针对-x或2x等. 例： “两域”： (1) 定义域 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象或数轴法来求解. (2) 值域(最值)： a.直接法（有界法）：利用sinx，cosx的值域. b.化一法：化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式逐步分析ωx+φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值). c.换元法：把sinx或cosx看作一个整体，化为求一元二次函数在给定区间上的值域(最值)问题. 例： 1.y=asinx+bsinx+c 2 2.y=asinx+bsinxcosx+ccosx 3.y=(asinx+c)/(bcosx+d) 4.y=a(sinx±cosx)+bsinxcosx+c “四性”： (1)单调性 ππ ①函数y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)图象的单调递增区间由2kπ-ωx+φ<2kπ＋，k∈Z解得, 单调递减区间由 22π 2kπωx+φ<2 kπ＋1.5π，k∈Z解得; 2 ②函数y=Acos(ωx+φ)(A>0, ω>0)图象的单调递增区间由2kπ+π<ωx+φ<2kπ＋2π,k∈Z解得, 单调递减区间由2kπ<ωx+φ<2 kπ＋π，k∈Z解得; ππ ③函数y=Atan(ωx+φ)(A>0, ω>0)图象的单调递增区间由kπ-<ωx+φ<kπ＋k∈Z解得,. 22规律总结：注意ω、A为负数时的处理技巧． (2)对称性 π ①函数y=Asin(ωx+φ)的图象的对称轴由ωx+φ= kπ＋(k∈Z)解得,对称中心的横坐标由ωx+φ= kπ(k∈Z)解得; 2π ②函数y=Acos(ωx+φ)的图象的对称轴由ωx+φ= kπ(k∈Z)解得,对称中心的横坐标由ωx+φ=kπ＋(k∈Z) 解得; 2③函数y=Atan(ωx+φ)的图象的对称中心由ωx+φ= kπ(k∈Z)解得. 规律总结：φ可以是单个角或多个角的代数式.无需区分ω、A符号. (3)奇偶性 π ①函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R是奇函数φ＝kπ(k∈Z)，函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R是偶函数φ＝kπ2∈Z)； ②函数y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R是奇函数φ＝kπ∈Z)； kπ ③函数y＝Atan(ωx＋φ)，x∈R是奇函数φ＝(k∈Z)． 2规律总结：φ可以是单个角或多个角的代数式.无需区分ω、A符号. (4)周期性 2π 函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝， |ω|y＝Atan(ωx＋φ) 的最小正周期T＝ 考点六 常见公式 常见公式要做到“三用”：正用、逆用、变形用 1.同角三角函数的基本关系 π. |ω| π ∈Z)；函数y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R是偶函数φ＝kπ(k2 22
高中数学必修4
1.已知a,b向量，可以知道：
a乘b（点乘）
=（√3sin x * cosx)+(cosx * cosx)
=（√3/2）sin 2x + [ (1/2) cos 2x +1/2 ]
=sin 2x cos (π/6) + cos 2x sin (π/6) + 1/2
=sin(2x+π/6) +1/2
这样，将上式带入到f(x)的表达式中，就可以得到：
f(x)=2sin(2x+π/6)+2m >>>(*)
(对应：f(x)=Asin(ωx+φ)+B )
其中，m是常数，那么也就有f(x)的最小正周期为：T=2π/ω=π
2.题目所求区间x∈[0,π/2]包含在题目中函数的一个周期[-π/3,2π/3]内
可以根据正弦函数的单调性求解，
对f(x),知道：
取最小值满足的条件是2x+π/6=2nπ+3π/2,即x=nπ+2π/3;
取最大值满足的条件是2x+π/6=2nπ+π/2,即x=nπ+π/6
于是，我们知道函数在一个周期[-π/3,2π/3]内的单调性如下：
单调递增区间：[-π/3,π/6]
单调递减区间：[π/6,2π/3]
那么，也就是说函数在区间内从[0,π/6]递增，再从[π/6,π/2]递减
可以知道函数的最小值必然是f(0)和f(π/2)中的一个或者两个都是
根据三角函数的对称性：我们知道以π/6为对称轴，令g(x)=sin(2x+π/6),有g(0)=g(π/3)
由于区间[π/6,π/2]内递减，所以我们知道g(π/2)<g(π/3)=g(0)
所以函数区间内的最小值是g(π/2)
也就是f(x)的最小值是f(π/2);
根据(*)式有：f(π/2)=2sin(π+π/6)+2m=2m-1
根据题意有2m-1=5
所以m=3
高中数学必修4
(1)、化简的时候把α看成第一象限角，其实这个和象限无关。利用“奇变偶不变，符号看象限”，
得f(α)=(cosα*-sinα)/(tanα*cosα)=-cosα
(2)、cos（α-3π/2）=1/5 ----> cos（3π/2-α）=1/5 ----> sinα=-1/5
----> cosα=±2√6/5 ----> f(α)=-cosα=±2√6/5
(3)、α=1380°，先把α变为2π以内的角，利用cos(2kπ+α)=cosα，
f(1380°)=f(1380°-8π)=f(60°)=-cos60°=-1/2