二阶微分方程

二阶微分方程的求解

二阶微分方程的通解公式有以下：第一种：由y2-y1=cos2x-sin2x是对应齐方程的解可推出cos2x、sin2x均为齐方程的解，故可得方程的通解是：y=C1cos2x+C2sin2x-xsin2x。第二种：通解是一个解集……包含了所有符合这个方程的解；n阶微分方程就带有n个常数，与是否线性无关。通解只有一个，但是表达形式可能不同，y=C1y1(x)+C2y2(x)是通解的话y=C1y1(x)+C2y2(x)+y1也是通解，但y=C1y1就是特解。第三种：先求对应的齐次方程2y''+y'-y=0通解。

二阶微分方程

二阶微分方程如下：对于一元函数来说，如果在该方程中出现因变量的二阶导数，通常就称为二阶（常）微分方程，其一般形式为F(x，y，y'，y'')=0。在有些情况下，可以通过适当的变量代换，把二阶微分方程化成一阶微分方程来求解。具有这种性质的微分方程称为可降阶的微分方程，相应的求解方法称为降阶法。二阶线性微分方程形如 y’’+ P(x) y’+Q(x) y = f(x)，是二阶微分方程 y’’=F(x,y,y’)的特殊形式。当f(x) = 0时，称为齐次的，否则称为非齐次的。二阶线性微分方程的力学背景是加速度，利用牛顿第二定律可以列出二阶线性微分方程。常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法：1、f(x) = e^ax^Pm(x)型。2、f(x) = e^ax^[Pl(x) coswx + Qn(x) sinwx]型。要点1、和一阶微分方程对应，掌握齐次方程和非齐次方程的解的结构关系。2、牢记二级结论，对定理推导的结果如特征根法求解公式。否则做题时重新推导速度太慢。3、学习和练习的要点就是典型模型识别和套公式的转化化归。因为很多解是采用构造法得出的，能套上合适的模型就是一种能力。不要看不起套公式的方法。4、二阶齐次方程的通解C1y1(x)+C2y2(x)。当y1(x)和y2(x)是线性无关的，y= C1 y1(x) + C2 y2(x) 就是齐次微分方程的通解。注意，两个函数只要不是倍数关系，就是线性无关的。5、二阶非齐次方程的通解 Y + y*。可以看出，二阶线性微分方程的求解问题转化为两个问题：一是齐次方程的通解求法；二是非齐次方程的特解求法。其中，对常系数微分方程有通解公式，对一般的非齐次方程有常数变易求解方法。

二阶微分方程求解

方法：1.二阶常系数齐次线性微分方程解法 一般形式:y”+py’+qy=0,特征方程r2+pr+q=0 特征方程r2+pr+q=0的两根为r1,r2 微分方程y”+py’+qy=0的通解 两个不相等的实根r1,r2 y=C1er1x+C2er2x 两个相等的实根r1=r2 y=(C1+C2x)er1x一对共轭复根r1=α+iβ,r2=α-iβ y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)2.1.二阶常系数非齐次线性微分方程解法 一般形式: y”+py’+qy=f(x) 先求y”+py’+qy=0的通解y0(x),再求y”+py’+qy=f(x)的一个特解y*(x) 则y(x)=y0(x)+y*(x)即为微分方程y”+py’+qy=f(x)的通解 求y”+py’+qy=f(x)特解的方法: ① f(x)=Pm(x)eλx型 令y*=xkQm(x)eλx［k按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或特征方程的重根依次取0,1或2］再代入原方程,确定Qm(x)的m+1个系数 2.2.②f(x)=eλx［Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx］型 令y*=xkeλx［Qm(x)cosωx+Rm(x)sinωx］［m=max﹛l,n﹜,k按λ+iω不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1］再代入原方程,分别确定Qm(x)和Rm(x)的m+1个系数例题：1. y"=f（x）型方程 （方程的右端不显含 y,yy'=fv"dx=ff(x)dx+C，y=fydx=fff(x)dx+Cx+C，即y= f(x)dxkx+Cx+C例1解方程 y"=xe*.解 y'= xe dx=e x-e +C，y= (xe -e*+C)=xe -e*-e +Cx+C.2.y”=f（x，y'）型方程 （方程右端不显含 y)令y'=p(x)，y”=12，代入原方程，得dpdx=f（x，p)，关于p的一阶微分方程，设其通解为 p=9(x，C1)， 又p=dydx=（x，C)，可分离变量的一阶微分 方程，积分得通解 y= (x,C)dx+C，